中3で平方根がわからない｜ルートの計算と有理化で止まる理由
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中3の平方根は、1学期に習うルート（√）の単元です。東京書籍の年間指導計画では、2章に16時間が置かれています。
結論から書くと、平方根で止まる子の多くは、ルートの意味ではなく「計算のルール」の1か所で止まっています。√2＋√3 を √5 と書く子と、√18 を簡単な形にできない子では、直す場所が違います。間違えた答えを見れば、どこで止まっているかを親が見分けられます。
家庭で15分でできる確認テストと、止まり方別の直し方を順に書きます。答えはすべてかっこの中に書いてあるので、親が数学を教えられなくても進められます。
平方根が後の単元に響く理由
平方根は、中3数学のこのあとの単元すべてで使う計算です。東京書籍『新編 新しい数学3』では、2章の平方根のあとに2次方程式・関数・相似・円・三平方の定理が続きます。
2次方程式の答えは x＝±√5 のようにルートで出ることが多く、三平方の定理では √48 を 4√3 に直す計算が毎回出ます。平方根の計算があいまいなままだと、このあとの単元で「考え方は合っているのに答えが合わない」状態になりやすいのが、平方根の単元の難しいところです。
東京書籍の計画では、2章の16時間は次のように分かれています。
- 1節 平方根（ルートの意味・大小）：6時間
- 2節 根号をふくむ式の計算：8時間
- 3節 平方根の利用：1時間
いちばん時間を使うのは、2節の計算です。止まりやすい場所も、2節に集中しています。
止まりやすい4つの場所
平方根で止まる場所は、次の4つに分けられます。
- ルートの意味：「16の平方根」を4だけと答える。√10 と3のどちらが大きいか分からない
- 簡単な形への直し方：√18 を 3√2 に直せない。かけ算の答えを √12 のまま止める
- 足し算・引き算のルール：√2＋√3 を √5 にしてしまう
- 有理化と展開：分母にルートがある分数を直せない。（√3＋1）² を3＋1にしてしまう
4つのうちどこで止まっているかは、子どもによって違います。1か所が分かれば、戻る範囲は小さく済みます。
家庭でできる15分の確認
止まっている場所は、親がルートの計算を覚えていなくても確かめられます。問題を書き写して解いてもらい、かっこの中の答えと合っているかを見るだけです。
確認1 ルートの意味
- 16の平方根は？（4と−4）
- √25 は？（5）
- √10 と3では、どちらが大きい？（√10）
- √7 は、どの整数とどの整数の間にある？（2と3の間）
1問目で4だけ答える子は、平方根が2つあることを見落としています。3問目は、3を √9 に直すと比べられます。
確認2 簡単な形とかけ算・わり算
- √18 を簡単な形に（3√2）
- √3×√12（6）
- √2×√10（2√5）
- √24÷√3（2√2）
2問目は √36 になり、6と答えます。3問目で √20 のまま止める子は、かけ算はできていて、最後の「簡単な形に直す」で止まっています。
確認3 足し算・引き算
- 3√2＋4√2（7√2）
- √12＋√3（3√3）
- √2＋√3（これ以上まとめられない）
- √50−√8（3√2）
3問目で √5 と書いたら、足し算のルールで止まっています。2問目と4問目は、先に簡単な形に直してから足し引きする問題です。
確認4 有理化と展開
- 1／√3 の分母を有理化（√3／3）
- 6／√2 の分母を有理化（3√2）
- （√3＋1）²（4＋2√3）
- （√5＋√2）（√5−√2）（3）
有理化（ゆうりか）は、分母にあるルートを消して、分子にルートを移す書き換えです。2問目は 6√2／2 で止めず、約分して 3√2 まで進めます。
結果の読み取り方
| 止まった場所 | 原因 | 戻す範囲 |
|---|---|---|
| 確認1で詰まる | 平方根の意味と大小の比べ方があいまい | 2章1節 平方根 |
| 確認2の1・3問目で詰まる | 簡単な形への直し方が分かっていない | 2章2節の前半 |
| 確認3の3問目で √5 と書く | 足し算できる条件を取り違えている | 2章2節の足し算・引き算 |
| 確認4の3・4問目で詰まる | 1章の展開の公式が抜けている | 1章 多項式の計算 |
確認4で展開だけ止まる場合、原因は平方根ではなく1章の乗法公式にあります。（a＋b）² を a²＋b² にしてしまう子は、ルートのない式でも同じ間違いをしているはずです。
足し算とかけ算でルールが違う
平方根の計算は、かけ算・わり算と、足し算・引き算でルールが違います。√2＋√3 を √5 と書く間違いは、かけ算のルールを足し算にも使ってしまうことで起きます。
中3数学 ｜ 平方根の計算
ルートの中が違う数でも計算できるか
かけ算と足し算でルールが分かれます
| ルートの中が同じ | ルートの中が違う | |
|---|---|---|
| かけ算 中の数どうしをかける | ○ √3×√3＝3 | ○ √2×√5＝√10 |
| わり算 中の数どうしをわる | ○ √5÷√5＝1 | ○ √10÷√2＝√5 |
| 足し算・引き算 前の数どうしを足し引きする | ○ 3√2＋4√2＝7√2 | △ 簡単な形で同じになれば計算できる |
- ※√2＋√3 は、これ以上まとめられません。√5 にはなりません
- ※√12＋√3 は、√12 を 2√3 に直すと 3√3 にまとめられます
まなびとこども
足し算・引き算のルールは、中1で習った文字式と同じです。3a＋4a＝7a と同じように、3√2＋4√2＝7√2 になります。a＋b がまとめられないのと同じで、√2＋√3 もまとめられません。
止まり方別の直し方
戻る場所が決まったら、平日に10〜15分ずつ進めます。ルートの計算は、まとめて1時間やるより、毎日5問ずつのほうが手順が残りやすくなります。
ルートの意味で止まる子
まず、1から15までの2乗の表を紙に書いて、机の前に貼ります。1、4、9、16、25と続き、15の2乗は225です。
ルートの大小は、2乗して比べます。√10 と3なら、3を2乗した9と10を比べ、10のほうが大きいので √10 が大きいと分かります。√7 がどの整数の間かは、表で7の前後にある4と9を探し、2と3の間と読みます。
「16の平方根」と「√16」は、答えの数が違います。16の平方根は4と−4の2つで、√16 は正のほうの4だけです。教科書の1節を開き、この2つの言い方を並べて書かせると取り違えが減ります。
簡単な形に直せない子
ルートの中の数を、2乗の数で割れるか順に試します。中学の問題では、次の数で割れるかを見れば足りることがほとんどです。
- 4（2の2乗）
- 9（3の2乗）
- 16（4の2乗）
- 25（5の2乗）
- 36（6の2乗）
√18 なら、9で割れるので 9×2 に分け、9を外に出して 3√2 です。数が大きくて迷うときは、素因数分解（同じ数のかけ算に分ける方法）を使います。√72 を 2×2×2×3×3 に分けると、ペアになった2と3が外に出て 6√2 になります。
かけ算の答えは、最後に必ず簡単な形まで直すと決めておきます。√2×√10 で √20 と書いたら、もう1回だけ「割れる2乗の数はないか」を確かめる習慣をつけます。
足し算で √5 と書いてしまう子
足し算の前に、ルートの中の数が同じかどうかを丸で囲ませます。中が同じなら前の数を足し、違うならまず簡単な形に直します。直しても違うときは、そのまま答えにします。
文字式の同類項でつまずいていた子は、平方根でも同じところで止まりやすくなります。文字式のまとめ方は中1で文字式がわからない｜×の省略と同類項で止まる理由で確認できます。
有理化と展開で止まる子
有理化は、分母のルートと同じルートを、分母と分子の両方にかける書き換えです。1／√3 なら、分母と分子に √3 をかけて √3／3 になります。分母が √12 のように大きいときは、先に 2√3 に直してからかけると計算が軽くなります。
展開で止まる子は、1章の乗法公式に戻ります。（a＋b）²＝a²＋2ab＋b² の真ん中の 2ab が抜けると、（√3＋1）² が4になってしまいます。ルートのない式で5問ほど練習してから、ルートの式に戻ります。
立て直しで避けたいこと
- 電卓や小数で答えさせる：√2 を1.41と書くと、ルートで答える問題では不正解になる
- 2次方程式の問題から始める：平方根の計算が固まる前に解いても、答えの最後で同じ間違いを繰り返す
- 問題集の2章を最初から全部やり直す：止まった1か所に絞らないと、できる問題に時間を使ってしまう
- 間違いの理由を聞かずに正解だけ見せる：√5 と書いた理由が分からないと、次も同じ答えを書く
2次方程式の解の公式では、答えの最後に必ずルートの計算が出ます。2次方程式の確認は中3で二次方程式がわからない｜因数分解と解の公式で止まる理由にまとめています。
家庭で見るか外に任せるかの決め方
家庭で続けられるかどうかは、確認テストの結果と、止まっている場所の数で決まります。
| 家庭の状況 | 向いている方法 |
|---|---|
| 止まった場所が1つだけ見つかった | 家庭で教科書とワークを使って直す |
| 1章の展開や中1の文字式まで戻る必要がある | 前の単元に戻れる教材か、1対1の指導を検討する |
| 2次方程式や三平方の定理でもルートの答えが合わない | 戻る順番を決める役を外に任せる |
止まった場所が1つなら、家庭の10〜15分で十分に戻せる範囲です。前の学年まで戻る必要があり、親が答え合わせの時間を取りにくい家庭は、外の手を借りる方法があります。
オンライン個別指導の体験の使い方
中学生向けのオンライン個別指導の1つに苦手克服塾があります。公式サイトによると、週2コマのマンツーマン指導をオンラインで受ける仕組みです。対応教科は数学・英語・国語・社会・理科の5教科です。
料金は月額29,800円（税込32,780円）からで、入塾金は0円と記載されています。2週間の無料体験があります（最終確認日：2026-10-24）。家庭学習や通信教育より費用は高いため、体験の段階で合うかを確かめます。
体験では、「√2＋√3 を √5 と書く」「√20 のまま止める」のように、確認テストの結果をそのまま伝えます。体験のあとに見る点は3つです。
- 講師が、足し算とかけ算でルールが違う理由を子どもに分かる言葉で説明できたか
- 1章の展開や中1の文字式まで戻る場合、今の授業と並行する計画を示してくれたか
- 週2コマの中で、どの単元から進めるかがはっきりしたか
合わなければ見送ってかまいません。学習の効果には個人差があり、体験だけで判断しきれないこともあります。
よくある質問
Q. 平方根は2学期になってからでも取り戻せますか。 取り戻せます。止まった場所が1つなら、平日10〜15分を1〜2週間続けるだけで手が止まらなくなる子もいます。進み方には個人差があります。このあとの2次方程式や三平方の定理でもルートを使うので、計算の練習の場面は授業の中にも続きます。
Q. √ の記号を「ルート」と読んでいいですか。 ルートと読んでかまいません。教科書では √ を根号（こんごう）と呼びます。テストの問題文に「根号をふくむ式」と書かれていたら、ルートが入った式のことです。
Q. 有理化はしなくても正解になりますか。 問題文で「分母を有理化しなさい」とあれば、有理化しないと不正解です。指定がない問題でどこまで直すかは、学校や先生によって採点の基準が違います。定期テストの答案で、先生がどう書いているかを確かめてください。
Q. 2乗の表は覚えたほうがいいですか。 15の2乗の225までは覚えておくと、簡単な形に直す計算が速くなります。最初は机の前に貼って見ながら解き、見なくても書けるようになったら外します。
まとめ
中3で平方根が分からなくなる原因は、ルートの意味・簡単な形への直し方・足し算のルール・有理化と展開のどれかにあります。やることは3つです。
- 確認1〜4で、止まっている場所を1つに絞る
- 止まった場所に合わせて、平日10〜15分で1か所だけ直す
- 前の単元まで戻る必要があり家庭で回らないときは、戻る順番を決める役を外に任せる
平方根は、このあとの2次方程式と三平方の定理で毎回使う計算です。まずは2乗の表を1枚書いて机の前に貼るところから始めてください。
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参考にした情報
- 東京書籍「令和7年度（2025年度）用 中学校数学科用『新編 新しい数学』年間指導計画【3年】」令和6年5月20日版（2章 平方根・16時間・1学期、節ごとの配当。https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/text/chu/sugaku/download/documents/R7sugaku_keikaku_3.pdf 最終確認日：2026-10-24）
- 苦手克服塾 公式サイト（対応教科・料金・無料体験・指導形式。https://nigate-kokufuku.jp/ 最終確認日：2026-10-24）
※本記事は情報提供を目的としたもので、学習の成果を保証するものではありません（効果には個人差があります）。料金・無料体験の条件は変更される場合があるため、お申し込み前に必ず各サービスの公式サイトでご確認ください。