中3で三平方の定理がわからない｜斜辺とルートで止まる理由
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中3の三平方の定理は、高校入試の直前に習う単元です。東京書籍の年間指導計画では、3学期の1月に置かれています。
結論から書くと、三平方の定理で止まる子の多くは、公式ではなく「斜辺の見つけ方」と「ルートの計算」で止まっています。a²＋b²＝c² は言えても、どの辺が c なのかを取り違えると答えがずれます。答えが √48 のまま止まる子は、1学期に習った平方根の計算に原因があります。
この記事では、家庭で10分でできる確認テストと、止まり方別の直し方を順に書きます。親が数学を教えられなくても、答え合わせだけで進められる内容です。
入試直前に習う単元の事情
三平方の定理は、中3の数学で最後のほうに習う図形の単元です。東京書籍『新編 新しい数学3』では7章にあたり、6章の円のあとに13時間で扱う計画になっています。
習う時期が遅いため、学校の授業と入試の過去問を同時に進める家庭が出てきます。入試の図形問題では、相似や円周角と組み合わせて出ることもあります。授業のペースに任せたままだと、練習の量が足りないまま入試を迎えやすい単元です。
止まりやすい場所は4つあります。
- 斜辺の見つけ方：直角の向かい側の辺が c になる。図の向きが変わると見失う
- ルートの計算：√48 を 4√3 に直す計算は、2章の平方根で習う内容
- 特別な直角三角形の比：30°・60°の三角形と45°の三角形で、辺の比を取り違える
- 図の中の直角三角形探し：座標や立体の問題で、どこに直角三角形があるか分からない
4つのうちどこで止まっているかは、子どもによって違います。止まった場所が分かれば、戻る範囲は小さく済みます。
公式と辺の比の使い分け
三平方の定理の問題は、公式 a²＋b²＝c² で計算する問題と、辺の比で読む問題の2種類に分かれます。どちらを使うかは、分かっている辺の数で決まります。
中3数学 ｜ 三平方の定理
公式で解くか辺の比で解くか
分かっている辺と角で使い分けます
| 公式 a²＋b²＝c² | 辺の比で読む | |
|---|---|---|
| 2辺が分かる直角三角形 残りの1辺を求める | ○ 使える | △ 角が分からないと使えない |
| 30°・60°の直角三角形 辺の比は1：2：√3 | × 辺が1つだけだと使えない | ○ 使える |
| 45°の直角二等辺三角形 辺の比は1：1：√2 | × 辺が1つだけだと使えない | ○ 使える |
| 座標の2点間の距離 横と縦の差を2辺にする | ○ 使える | × 角が決まらないので使わない |
- ※30°・60°や45°の三角形でも、2辺が分かっていれば公式でも解けます
- ※1：2：√3 の「2」は斜辺です
まなびとこども
公式は、2つの辺が分かっていれば使えます。辺が1つしか分からないときは、角の大きさから辺の比を使います。三角定規の2枚の形を思い浮かべると、比を取り違えにくくなります。
家庭でできる10分の確認
止まっている場所は、親が数学を教えられなくても確かめられます。答えを手元に置いて解いてもらい、合っているかを見るだけです。答えはかっこの中に書いてあります。
確認1 斜辺を見つけて計算できるか
- 直角をはさむ2辺が3cmと4cmの直角三角形。斜辺は？（5cm）
- 斜辺が10cm、ほかの1辺が6cmの直角三角形。残りの辺は？（8cm）
- 直角をはさむ2辺が2cmと3cmの直角三角形。斜辺は？（√13cm）
2問目で 10²＋6² と足してしまう子は、斜辺の位置で止まっています。答えが √136 になっていたら、このパターンです。
確認2 ルートを簡単にできるか
次のルートを、できるだけ簡単な形にしてもらいます。
- √12（2√3）
- √50（5√2）
- √48（4√3）
3問とも、ルートの中を「ある数の2乗」と「残り」に分ける計算です。√48 なら 16×3 に分け、16 を外に出して 4√3 になります。
確認3 辺の比と図の中の直角三角形
- 30°・60°・90°の直角三角形で、斜辺が6cm。いちばん短い辺と、残りの辺は？（3cmと3√3cm）
- 1辺が5cmの正方形の対角線の長さは？（5√2cm）
- 座標で、点A（1，2）と点B（4，6）の距離は？（5）
- 縦3cm・横4cm・高さ12cmの直方体の対角線の長さは？（13cm）
座標の問題は、横の差3と縦の差4を2辺とする直角三角形を作って解きます。直方体は、まず底面の長方形の対角線5cmを出し、高さ12cmと組み合わせます。
結果の読み取り方
| 止まった場所 | 原因 | 戻す範囲 |
|---|---|---|
| 確認1の2問目で詰まる | 斜辺がどの辺か分かっていない | 三平方の定理の最初 |
| 確認2で詰まる | ルートの簡単な形の作り方があいまい | 中3の2章・平方根 |
| 確認3の1〜2問目で詰まる | 特別な直角三角形の比を覚えていない | 三平方の定理の後半 |
| 確認3の3〜4問目で詰まる | 図の中に直角三角形を作れない | 三平方の定理の利用 |
確認2で止まっている場合、原因は三平方の定理ではなく平方根の単元にあります。答えがルートになる問題では、最後に必ず平方根の計算を使うためです。
止まり方別の直し方
戻る場所が決まったら、平日に10〜15分ずつ進めます。図形の計算は、まとめて1時間やるより、毎日数問ずつのほうが手順が残りやすくなります。
斜辺の位置で止まる子
問題の図に、直角の印を赤で囲ませます。次に、直角の向かい側の辺を赤でなぞらせます。この赤い辺が c です。
式を書く前に、毎回この2つの作業をさせます。斜辺が分かっているときは「c² から引く」、分からないときは「2つを足す」と決めておくと迷いが減ります。図を回転させた問題や、三角形が逆さまに描かれた問題も混ぜて練習します。
ルートの計算で止まる子
中3の教科書かワークの、平方根のページに戻ります。ルートを簡単にするときに使う2乗の数は、次の5つで中学の問題のほとんどに足ります。
- 4（2の2乗）
- 9（3の2乗）
- 16（4の2乗）
- 25（5の2乗）
- 36（6の2乗）
ルートの中の数を、上の5つのどれかで割れるか順に試します。√72 なら 36×2 と分けて 6√2 です。1日5問ずつ、1週間ほど続けると手が止まらなくなる子が多い部分です。進み方には個人差があります。
辺の比や図の中の三角形で止まる子
辺の比は、三角定規2枚を手元に置いて覚えます。30°・60°の三角定規は 1：2：√3、45°の三角定規は 1：1：√2 です。「2」は斜辺、つまりいちばん長い辺と、定規を指でなぞりながら確かめます。
図の中の直角三角形を作れない子は、問題の図に自分で補助線を引く練習をします。座標なら、2点から縦と横に線を引きます。直方体や円すいなら、高さの線を1本足します。直角三角形が見えた時点で、確認1の計算に戻れます。
立て直しで避けたいこと
- 入試の過去問から始める：相似や円との組み合わせ問題は、基本の計算が固まる前に解いても手順が残らない
- 公式の証明から教え直す：証明は理解の助けになるが、テストで点を戻したい段階では計算の手順を先に固める
- ルートを小数で答えさせる：√13 を3.6と書くと、テストでは不正解になる問題が多い
- 問題集を最初から全部解かせる：止まった1か所に絞らないと、間違いを繰り返す練習になる
相似の比の式で止まっている子は、三平方の定理の前に相似の確認をしたほうが入試の図形問題に効きます。相似の確認テストは中3で相似がわからない｜対応と比の式でつまずく理由と直し方にまとめています。
家庭で見るか外に任せるかの決め方
家庭で続けられるかどうかは、確認テストの結果と、入試までの残り時間で決まります。
| 家庭の状況 | 向いている方法 |
|---|---|
| 止まった場所が1つだけ見つかった | 家庭で教科書とワークを使って直す |
| 平方根まで戻る必要がある・ほかの単元も不安 | 前の単元に戻れる教材か、1対1の指導を検討する |
| 入試の過去問で図形がまったく解けない | 図形の問題を解説できる講師に任せる |
三平方の定理は、入試の図形問題で相似や円と組み合わせて出やすい単元です。止まった場所が1つなら、家庭の10〜15分で十分に戻せる範囲です。
オンライン家庭教師の体験の使い方
止まった場所を家庭で見つけられないときは、見つける役を講師に任せる方法があります。オンライン家庭教師なら、送迎なしで家から1対1の指導を受けられます。費用は家庭学習や通信教育より高くなりやすいため、料金に何が含まれるかを体験の段階で確かめます。
オンライン家庭教師e-Liveは、公式サイトによると小学1年生から高校3年生までが対象です。申し込みのあと、サポートスタッフによるオンライン説明と無料体験があります。公式サイトには、親と子の両方が納得した場合のみ入会手続きに進むと書かれています（最終確認日：2026-10-10）。
体験では、「斜辺が分かっているときに引き算にできない」のように、確認テストの結果をそのまま伝えます。体験のあとに見る点は3つです。
- 講師が、どこで止まっているかを子どもに分かる言葉で説明できたか
- 入試までの残り時間に合わせて、何から進めるかを示してくれたか
- 料金に何が含まれているか（教材費・季節講習の扱い）
合わなければ見送ってかまいません。学習の効果には個人差があり、体験だけで判断しきれないこともあります。
e-Liveの料金は、この記事では掲載していません（要確認）。申し込み前に、公式サイトで最新の料金と体験の内容をご確認ください。
よくある質問
Q. まだ学校で習っていないのに、先に家庭でやったほうがいいですか。 平方根の計算が不安なら、先に平方根だけ固めておくと授業についていきやすくなります。三平方の定理そのものは、授業で習ってから確認テストを使うほうが、止まった場所を正しく見つけられます。
Q. 3：4：5 の三角形は覚えたほうがいいですか。 覚えておくと計算の確かめに使えます。6：8：10 のように、3：4：5 を何倍かした組み合わせもよく出ます。5：12：13 も入試で見かける組み合わせです。
Q. 答えをルートのまま書いていいですか。 問題文で指定がなければ、ルートは簡単な形にして答えます。√48 のままだと減点や不正解になることがあります。採点の基準は学校によって違うため、定期テストの答案で確かめてください。
Q. 円周角の問題も一緒に苦手です。 円周角は6章で、三平方の定理の直前に習う単元です。円周角の確認は中3で円周角がわからない｜同じ弧を見つけられない理由と直し方で、確認テストから始められます。
まとめ
中3で三平方の定理が分からなくなる原因は、斜辺の見つけ方・ルートの計算・辺の比・図の中の直角三角形探しのどれかにあります。やることは3つです。
- 確認1〜3で、止まっている場所を1つに絞る
- 止まった場所に合わせて、平日10〜15分で1か所だけ直す
- 止まった場所が家庭で見つからないときは、見つける役を外に任せる
三平方の定理は、手順が決まっている計算問題が多い単元です。入試の過去問に入る前に、直角の印を赤で囲む練習から始めてください。
あわせて読みたい
参考にした情報
- 東京書籍「令和7年度（2025年度）用 中学校数学科用『新編 新しい数学』年間指導計画【3年】」（7章 三平方の定理・13時間・3学期・1月の配当。最終確認日：2026-10-10）
- オンライン家庭教師e-Live公式サイト「説明・無料体験」ページ（対象学年・体験の流れ。最終確認日：2026-10-10）
※本記事は情報提供を目的としたもので、学習の成果を保証するものではありません（効果には個人差があります）。料金・無料体験の条件は変更される場合があるため、お申し込み前に必ず各サービスの公式サイトでご確認ください。