学習の悩み・選び方

中3で二次方程式がわからない｜因数分解と解の公式で止まる理由

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中3の二次方程式に入ったら、小テストの点が急に下がった。答えを見ると「x＝3」だけで、もう1つの解が抜けている。式の形を見ても、どの解き方を使えばいいか分からず手が止まる。そんな相談が出やすい単元です。

結論から書くと、二次方程式でつまずく原因は4つに分かれます。解を1つしか書かない、右辺を0にしないまま解く、解の公式で符号や約分を間違える、解き方を選べない、の4つです。計算力の不足より、解き方の手順が決まっていないことが原因になりやすい単元です。止まっている場所を見分ければ、親が数学を覚えていなくても直す順番は決められます。

二次方程式でつまずく原因は4つ

二次方程式で点が取れない原因は、次の4つのどれかに当てはまることがほとんどです。

  1. 解が2つあることを忘れ、1つしか書かない（x²＝9でx＝3だけ書く）
  2. 右辺を0にしないまま因数分解する、または両辺をxで割る
  3. 解の公式に数を入れるときの符号ミスと、最後の約分ミス
  4. 式を見て、平方根・因数分解・解の公式のどれで解くか選べない

原因1と2は「二次方程式とは何か」の理解の問題です。原因3は計算の手順、原因4は解き方の選び方の問題です。答案を「計算ミス」とまとめてしまうと、どこで点を落としたのかが見えなくなります。

一次方程式との違いは「解が2つ」

中1の一次方程式は、解が1つでした。二次方程式は、解が2つになる式が多くあります。たとえばx²＝9は、3を2回かけても−3を2回かけても9になります。解は「x＝3、x＝−3」の2つで、まとめて「x＝±3」と書きます。 一次方程式の感覚のまま解くと、片方を書き忘れます。

中3で習う二次方程式の中身

二次方程式は、中3数学の「数と式」で学びます。文部科学省の中学校学習指導要領では、中3の二次方程式の内容が次のように示されています。

学ぶこと中身
二次方程式の意味二次方程式とその解の意味を理解する
因数分解・平方の形で解く式を因数分解したり、（　）²の形に変えたりして解く
解の公式で解く解の公式を知り、使って解く
具体的な場面で使う文章題などに二次方程式を使う

同じ中3で習う展開・因数分解と平方根を道具として使う単元です。因数分解や√（ルート）の計算があやふやなまま入ると、二次方程式の手順が分かっていても答えが合いません。習う時期は教科書と学校によって違うため、定期テストの範囲表か教科書の目次で確かめてください。

解き方は3種類

教科書で習う解き方は、大きく3つです。

  • 平方根の考えで解く：x²＝9や（x＋3）²＝5のように「何かの2乗＝数」の形のとき
  • 因数分解で解く：x²−5x＋6＝0のように、左辺を（x−2）（x−3）とかけ算の形にできるとき
  • 解の公式で解く：因数分解できないときにも使える。どんな二次方程式にも使える代わりに、計算が長くなる

因数分解で解く方法は、「かけ算して0になるなら、どちらかが0」という決まりを使います。（x−2）（x−3）＝0なら、x−2＝0かx−3＝0なので、解はx＝2、x＝3です。

原因を見分ける4つの質問

どこで止まっているかは、子どもに4つの問題を解いてもらえば切り分けられます。親が解ける必要はありません。下に正解を書いておくので、答え合わせの役だけで十分です。

質問1「x²＝9を解いて」

「x＝±3」または「x＝3、x＝−3」と書ければ合格です。「x＝3」だけなら、原因は1つ目です。

質問2「x²＝3xを解いて」

「x＝0、x＝3」と書ければ合格です。「x＝3」だけなら、両辺をxで割って解が1つ消えています。原因は2つ目です。

質問3「x²＋3x−1＝0を解いて」

答えは「x＝（−3±√13）÷2」です（教科書では2分の−3±√13と分数の形で書きます）。途中で止まる、または√の中が5や−5になるなら、原因は3つ目です。√の中は「3²−4×1×（−1）」で、9＋4＝13になります。

質問4「x²＋5x−6＝0・（x＋1）²＝7・2x²−x−2＝0、それぞれ何の方法で解く？」

解かなくてよいので、方法だけ答えてもらいます。順に「因数分解」「平方根」「解の公式」と言えれば合格です。3つとも解の公式で解こうとする、または考え込んで答えられないなら、原因は4つ目です。

原因別の家庭での直し方

直す順番は、質問1から4の順が基本です。解が2つあることを分かっていないまま解の公式を練習しても、答えの片方が抜け続けます。

原因1 答えを書いたら「もう1つは？」

解を1つしか書かない子には、x²＝9のxに−3を入れて確かめさせます。（−3）²＝9で式が成り立つので、−3も解だと自分で分かります。

答えを書いたあとに「もう1つは？」と聞く習慣をつけると、書き忘れが減ります。二次方程式の解は2つの場合がほとんどです。（x−4）²＝0のように解が1つになる式は例外として、出てきたときに覚えれば足ります。

原因2 解く前に「右辺を0にする」

右辺が0でないまま因数分解すると、答えがずれます。よくある誤りは次の例です。

  • 問題：（x−2）（x−3）＝2
  • 誤り：x−2＝2、x−3＝2として、x＝4、x＝5と答える
  • 正しい手順：左辺を展開してx²−5x＋6＝2、右辺の2を移項してx²−5x＋4＝0、因数分解して（x−1）（x−4）＝0、解はx＝1、x＝4

「どちらかが0」の決まりは、右辺が0のときにしか使えません。解き始める前に「右辺は0になっている？」と1回聞くのが一番効く直し方です。

x²＝3xを両辺xで割るミスも、同じ手順で直ります。右辺の3xを移項してx²−3x＝0、共通の文字xでくくってx（x−3）＝0とします。解はx＝0、x＝3です。文字で割ると、x＝0の解が消えてしまいます。

原因3 解の公式は「a・b・cを先に書き出す」

解の公式は、ax²＋bx＋c＝0の形の式に使います。

  • x＝（−b±√（b²−4ac））÷2a

符号ミスを減らすには、公式に入れる前に、式の横へ「a＝2、b＝−5、c＝1」と書き出させます。2x²−5x＋1＝0なら次のとおりです。

  • −bは「−（−5）」で5になる
  • √の中は「（−5）²−4×2×1」で、25−8＝17
  • 答えはx＝（5±√17）÷4

bがマイナスのとき、−bはプラスになるところが、最も間違えやすい場所です。マイナスの数を入れるときは、必ず（　）をつけて書かせます。

最後の約分でも点を落とします。x²＋2x−4＝0を解の公式で解くと、途中でx＝（−2±√20）÷2になります。√20を2√5に直すと（−2±2√5）÷2で、分子の2つの数をどちらも2で割ってx＝−1±√5です。−2だけを2で割って「−1±2√5」とするのがよくある誤りです。約分するときは「分子の全部を割ったか」を確かめさせてください。

√20を2√5に直す計算で止まる場合は、二次方程式の前に平方根の単元へ戻ります。中3で三平方の定理がわからない｜斜辺とルートで止まる理由にも、√の計算でつまずく例をまとめています。

原因4 解き方は「見る順番」を決める

解き方を選べない子には、式を見る順番を決めて紙に書いて貼っておきます。

  1. xの項（x²以外のxだけの項）がない、または（　）²＝数の形 → 平方根で解く
  2. 右辺を0にして、左辺が因数分解できる → 因数分解で解く
  3. 因数分解の組み合わせが見つからない → 解の公式で解く

因数分解できるかは、x²＋5x−6なら「かけて−6、足して5になる2つの数」を探して確かめます。組み合わせは次の4組です。

かけて−6になる組足した数
1と−6−5
−1と65
2と−3−1
−2と31

足して5になるのは−1と6なので、（x−1）（x＋6）＝0で、解はx＝1、x＝−6です。かけ算の組を全部書き出しても見つからなければ、解の公式に切り替えます。組み合わせを頭の中だけで探さず、表に書き出させると、探す時間が短くなります。

因数分解の公式そのものを覚えていない場合は、二次方程式より前の展開・因数分解に戻るほうが早く進みます。

3つの解き方を比べる

3つの解き方は、どれも一長一短です。1つの解き方で全部を解こうとせず、式の形で使い分けます。

中3数学 ｜ 二次方程式

二次方程式の3つの解き方

どれが合うかは、式の形で変わります

使える式計算の長さミスが出やすい所
平方根の考え x²＝9、（x＋1）²＝7など △ 「2乗＝数」の形のときだけ ○ 短い △ ±の書き忘れ
因数分解 x²−5x＋6＝0など △ 因数分解できる式だけ ○ 短い △ 右辺を0にし忘れる
解の公式 ax²＋bx＋c＝0の形 ○ どの二次方程式にも使える △ 長くなりやすい △ 符号と約分のミス
  • ※解の公式は万能ですが、因数分解できる式に使うと時間がかかります。学習の進み方には個人差があります

まなびとこども

テストでは、平方根と因数分解で解ける問題を短く解き、残った時間を解の公式の問題に回すと、時間切れになりにくくなります。

親がやりがちな3つの失敗

失敗1 「全部、解の公式で解けばいい」と教える

解の公式はどの二次方程式にも使えるので、親が「迷ったら全部公式で」と教えたくなります。ただ、因数分解で数行で済む問題に公式を使うと、計算が長くなり符号ミスの機会も増えます。テストで「因数分解を使って解きなさい」と指定される問題もあります。

失敗2 計算練習の量を増やす

答えが合わないと、問題集のページ数を増やしがちです。原因が「右辺を0にしていない」なら、何十問解いても同じ誤りをくり返します。先に4つの質問で原因を見分け、その原因に合う問題だけを練習するほうが近道です。

失敗3 文章題の答えを確かめさせない

二次方程式の文章題では、出てきた2つの解が問題に合うかを確かめます。たとえば長さを求める問題で解がx＝5とx＝−2になったら、長さはマイナスにならないので、答えは5だけです。両方を答えにしたり、確かめずに片方を消したりすると減点されます。文章題の最後に「この答えは問題に合う？」と1行書かせてください。

家庭以外で見てもらう選択肢

二次方程式のつまずきは、途中式を書いている手元を見てもらうと原因が早く分かります。答えの数字だけでは、符号を間違えたのか、約分で崩れたのかが区別しにくいためです。

まず頼りたいのは学校の先生です。費用がかからず、定期テストの出題範囲を最もよく知っています。質問に行く時間が取れない場合や、因数分解・平方根など前の単元にも取りこぼしが重なっている場合に、家庭の外の指導が候補になります。

数学を中心にオンライン個別指導を使う場合

中学生向けのオンライン個別指導の1つに苦手克服塾があります。公式サイトによると、週2コマのマンツーマン指導をオンラインで行っています。対応教科は数学・英語・国語・社会・理科の5教科です。毎回の授業後に内容を保護者へ報告する仕組みも案内されています。

料金は月額29,800円（税込32,780円）からで、入塾金は0円と記載されています。2週間の無料体験があります（最終確認日：2026-10-16）。

週2コマの指導なので、二次方程式の1単元だけ少し見てほしい家庭には、回数も費用も多めです。二次方程式だけでなく、関数y＝ax²や相似など中3の後半の単元でも点が落ちている場合に検討する価値が出てきます。画面越しの指導が合うかどうかは、子どもによって差があります。無料体験で確かめてから決めてください。合わなければ見送って構いません。

よくある質問

解の公式は覚えないといけませんか

覚える必要があります。テストでは公式が問題用紙に書かれていないことが多いためです。毎回、問題を解く前に余白へ公式を1回書いてから使うと、書く回数がそのまま暗記の練習になります。

因数分解できるかどうか、すぐに分かりません

定数項（xがついていない数）をかけ算で作れる組を、表に全部書き出します。足してxの係数になる組がなければ、因数分解できないと判断して解の公式に切り替えます。慣れるまでは時間がかかっても、書き出す手順を省かないほうがミスが減ります。

答えの√の中を簡単にしなくても正解になりますか

√20のように簡単にできる形のままだと、テストでは減点や不正解になることがあります。√の中の数が4や9などの2乗の数で割り切れないかを確かめ、2√5のように直してから答えます。採点の基準は学校によって違うため、先生の指示に従ってください。

高校受験でも二次方程式は出ますか

二次方程式は中3で習う内容なので、公立高校入試の出題範囲に入ります。出題の形は都道府県によって違うため、志望校がある都道府県の過去の入試問題で確かめてください。関数y＝ax²の問題でも、x²＝4のような式を解く場面があります。

親が数学を覚えていなくても教えられますか

教える必要はありません。4つの質問で止まっている場所を見分け、「右辺は0？」「もう1つの解は？」「a・b・cを書いた？」と声をかける役で十分です。間違えた問題を原因別に数えるだけでも、次に練習する問題が決まります。

まとめ

中3の二次方程式でつまずく原因は、数学のセンスではありません。解が2つあること・右辺を0にすること・解の公式の符号と約分・解き方の選び方のどれかが抜けているだけです。

  • まず4つの質問で、どこで止まっているかを切り分ける
  • 答えを書いたら「もう1つは？」、解く前に「右辺は0？」と確かめる
  • 解の公式は、a・b・cを先に書き出してから数を入れる
  • 解き方は「平方根→因数分解→解の公式」の順に見る

二次方程式は、手順の決まりが分かった時点で、問題に手が出るようになる子がいる単元です。まずは「x²＝3xを解いてみて」と、今夜1問だけ聞いてみてください。

学習の進み方には個人差があります。取り組んだ結果が、すぐに点数へ表れない場合もあります。

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参考にした情報

※本記事は情報提供を目的としたもので、学習の成果を保証するものではありません（効果には個人差があります）。料金・無料体験の条件は変更される場合があるため、お申し込み前に必ず各サービスの公式サイトでご確認ください。